第44章 传奇第6题（2/2）

“最终，只有11人拿到了满分。”

“这十一人中，走出了一位后来的菲尔兹奖得主——吴宝珠。”

“而被这道题拦在门外的，同样星光熠熠。就连那位被公认为几十年一遇的天才——陶哲轩，在那届imo上，其他五道题全部满分，却在这道传奇第六题上，仅仅拿到了可怜的1分。”

“甚至，就连当年的imo议题委员会，以及四位顶级的数论专家，都没能在六个小时的限制时间內，完整地解出这道题。”

徐辰的內心，忍不住道。

【所以，今年这帮老头子，是打算復刻一次传奇，再造一个神话？】

……

绝境，並非他一人。

前排的詹姆斯·林，早已没有了昨日的从容。他烦躁地抓著自己的头髮，面前的草稿纸已经堆起了厚厚一摞，上面画满了各种混乱的符號和被划掉的推演。他的脸上，第一次出现了那种属於凡人的、无计可施的挫败感。

韩国队的朴俊熙，面色凝重如铁。他紧紧地抿著嘴唇，笔尖在纸上悬停了许久，却迟迟无法落下。

就连被认为最擅长组合难题的中国队其他队员，此刻也都是一筹莫展，或低头沉思，或望著天花板，徒劳地寻找著那不存在的灵感。

整个考场，仿佛成了一座巨大的、无声的绞肉机。

……

【冷静……冷静……】

徐辰闭上眼睛，强迫自己进入深度思考状態。

【常规方法走不通，说明这道题的本质，必然隱藏在一个极深的、非常规的数学结构之下。】

【该使用专注胶囊了。】

徐辰心中默念。之前奖励的5颗胶囊，现在只剩2颗了。每一次都是在最关键的时刻使用，效果斐然。

一股清凉的感觉，瞬间涌入大脑。外界的一切嘈杂都消失了，他的思维，变得前所未有的清晰和敏锐。

徐辰此时已进入专注思考状態。

【常规方法走不通，说明这道题的本质，必然隱藏在一个极深的、非常规的数学结构之下。】

【(a2+b2)/(ab+1)= k，其中k为正整数。】

【a2-(kb)a +(b2- k)= 0。】

【这是一个关於a的二次方程。如果(a， b)是一组解，那么根据韦达定理，必然存在另一个解 a= kb - a。】

【这个思路，就是韦达跳跃的核心。但问题是，如何证明 k必须是完全平方数？】

他的大脑，在这一刻，以一种超越极限的速度运转起来。

无数的数学定理、公理、性质，在他脑海中如同星辰般闪烁、碰撞、重组。

突然，一个极其冷门、甚至在他庞大的知识库中都只占据了一个微不足道角落的定理，如同流星般，划破了所有的迷雾。

【费马的无穷递降法！】

【不，不对，是它的一个变种——在丟番图方程解集结构中的应用！】

一个大胆到近乎疯狂的念头，在他心中升起。

【如果，我能证明，对於任意一个非平方数的k，这个方程的解集，可以通过韦达跳跃，构造出一个无限递降的正整数序列……】

【而正整数序列，是不可能无限递降的！这就导出了矛盾！】

找到了！

那条通往终点的、唯一的光！

徐辰猛地睁开眼，眼神中爆发出前所未有的璀璨光芒。

他拿起笔，没有再进行任何试探性的计算。

他的笔尖，在答题纸上，写下了一行如同诗歌般凝练的文字。

【解：设(a2+b2)/(ab+1)= k。不妨设k不是一个完全平方数。】

【在所有满足该方程的正整数解(a， b)中，取 a+b最小的一组解，且a≥b。】

【考虑关於x的二次方程 x2-(kb)x +(b2- k)= 0。】

【显然，a是该方程的一个正整数根。设另一根为a。】

【由韦达定理，a + a= kb， a * a= b2- k。】

【易证 a是一个整数，且 a=(b2-k)/a ＜ b。若a＞0，则(a， b)是方程另一组正整数解，且 a+b ＜ a+b，与a+b的最小性矛盾。】

【若a=0，则b2=k，与k不是完全平方数矛盾。】

【若a＜0……】

一步，两步，三步……

逻辑的链条，环环相扣，无懈可击。

他没有用任何复杂的运算，仅仅利用了反证法、最小数原理和韦达定理这三个最基础的数学工具，便將整个问题，引入了一个必然会產生矛盾的逻辑闭环！

最终，他写下了结论。

【……综上，假设不成立。故k必为一个完全平方数。】

【证毕。】

当最后一个句號落下时，距离考试结束，还有十分钟。

他放下笔，长长地舒了一口气，靠在了椅背上。

【內心os：搞定，收工。】