第37章 方法论（2/2）

蒋瑶慢慢把这个推导的想法说了出来。

她的眼睛越来越亮，就像是黑暗中摸索的人终於摸到了灯的开关。

可是，越说，她的声音忽然变得越低。

到了最后，还没等整段话说完，她自己反倒先停住了。

江临没有立刻接话。

他把笔横过来，让笔桿轻轻地压住图上那条代表y=a的水平线，然后又用笔尖轻轻点了点右支上的x_2。

房间里安静了十来秒钟。

江临才不紧不慢地在纸上，写下了那个让蒋瑶昨晚痛苦了两个小时的式子。

g(1/x_1)-g(x_1)。

“因为g(x_1)=a，所以你要证明g(1/x_1)＞a，本质上就是在比较g(1/x_1)和g(x_1)的大小，这就是你看到的那个所谓构造的来源。”

江临的声音低沉而有力，像是一记重锤敲在蒋瑶的心上。

蒋瑶怔怔地看著这一行式子。

昨晚她看到解析突然写出令f(x)=g(x)-g(1/x)的时候，她只觉得那是某位数学天才灵光乍现的经验技巧，是她这种凡夫俗子这辈子都想不到的神来之笔。

但现在，她才知道，它根本不是从天上掉下来的。

它是被题目的目標硬生生逼出来的。

要证明x_2＜1/x_1，而x_2处在单调递增的区间，为了利用单调性，就必须把1/x_1和x_2放到同一个单调区间上进行比较。

而要比较它们的横坐標大小，自然就顺理成章地转化成了比较它们对应的函数值：g(1/x)和 g(x_1)的大小。

这一刻，所有的逻辑链条严丝合缝地咬合在了一起。

齿轮开始转动，发出震耳欲聋的轰鸣。

蒋瑶下意识地想点头称是。

可是头点到一半，她又硬生生地停住了。

那口气被她重新咽了回去。

因为这一次，她不是那种看了答案觉得对方说得好像有道理的似懂非懂。

她是真的，清清楚楚地看见了这座建筑底层的地基是怎么打下去的。她看见了因果。

江临见她似有所悟，便即在纸上写下g(x)的解析式。

g(x)=lnx+x+1/x。

……

他写得不快。

以便蒋瑶的大脑能够跟上消化。

蒋瑶一开始还想跟著点头附和，到了后来，她乾脆一动不动了。她所有的注意力，都紧紧地盯住江临笔下的每一行字符，盯住那些公式的来龙去脉。

江临写完最后一步，抬起头问道：“好，现在逻辑链条传导到了最后一步，问题变成了什么？”

蒋瑶顺著那工整到近乎死板的字跡看下去，答说：“既然构造的结果是-2lnx_1，那么要想证明g(1/x)＞g(x_1)，就只需要证明在x=x_1的时候，-2lnx_1＞0。”

“也就是？”

“也就是要求lnx_1＜0，即x_1＜1。”蒋瑶的思路如同破冰的春水，畅快流淌。

江临点点头，拋出最后一个问题：“那么，证明的最后一块拼图，x_1＜1这个结论，从哪里来？”

蒋瑶立刻低头去看第一问自己做过的结果。

她知道g(x)=lnx+x+1/x。

在第一问里，为了求最小值，她求过它的导数.

g(x)=1/x+1-1/x^2。

令导数为零找极值点：1/x+1-1/x^2=0。

因为x＞0，等式两边同乘以x^2，得到一个极其简单的一元二次方程：x+x^2-1=0。

也就是：x^2+x-1=0。

解这个方程，捨去负根，得到的正根是：a=(根號5-1)/2。

这恰好是黄金分割数。

显然，a＜1。

根据导数和极值点的关係，因为g(x)在区间(0，a)上单调递减，在在区间(a，+无穷)上单调递增。

题目已知g(x)=a有两个正根x1＜x2。

从刚才画的图上可以非常直观地看出，x_1必然在极小值点的左边，也就是递减区间；x_2必然在极小值点的右边，也就是递增区间。

所以必然有：0＜x_1＜a＜x_2。

既然x_1＜a，而a＜1，那么根据传递性，理所当然地得出：x_1＜1。

既然x_1＜1，所以：-2lnx_1＞0

也就是：g(1/x_1)＞g(x_1)=a。

又因为前面討论过，由於1/x_1＞1＞a，说明1/x_1这个点也落在(a，+无穷)这个递增区间上。在这个单调递增的右支上，既然g(x_2)=a，且g(1/x_1)＞a。

所以必然得出横坐標的大小关係：x_2＜1/x_1。

两边同乘正数x_1，最终得证：x_1x_2＜1。

当蒋瑶的大脑顺著这条毫无破绽的逻辑链条，一口气走到终点的时候，她忽然觉得，眼前这道张牙舞爪的压轴大题，变得非常安静。

不是觉得它变简单了。这道题依旧很难。

而是觉得它变得安静了。它被彻底驯服了。

那些昨晚在脑海里乱七八糟堆积在一起的公式，从搜题软体上抄下来的支离破碎的步骤，此刻就像是被人用一双极其稳健的大手，一块一块地放回了它们原本就该存在的位置。

题目要证明什么。

这个表面目標等价於什么底层数学关係。

为了比较这种关係，我们需要寻找谁和谁作为中介。

那个看似天外飞仙的构造，究竟从哪里来。

每一步，终於都有了清清楚楚的来处。

江临把笔轻轻搁在草稿纸的边缘。

“你昨晚看的那些解析，大概就是把前面分析目標和翻译条件的过程省略了，直接从中间开始跳，第一步就把构造式拿给你看。”

蒋瑶重重地点头，眼眶甚至隱隱有些发热：“对，就是这样，他们只写了证明过程，没写思路是怎么来的。”

“所以，你不是看不懂后面的计算，只是不知道它为什么要往这个方向走。”江临说。

忠言逆耳。

蒋瑶听得有点不舒服。

作为一个市重点的尖子生，她的骄傲让她本能地想要反驳。

可是她无法反驳，因为江临说得太准了。

她昨晚的確把后面那些求导化简的计算看懂了，甚至今天也能闭著眼睛凭记忆跟著抄出一份一模一样的完整答案。

可如果把答案合上，把她扔进高考的考场上，把题目稍微变个形，让她自己重新做一遍，她还是想不到要比较g(1/x_1)和g(x_1)。

她以前一直以为，这叫我自己太笨，没想到技巧。

可现在江临用一张纸和一支笔告诉她，这不是什么技巧突然出现。

而是因为她在解题的最开始，就没有静下心来，盯牢题目真正的目標。

蒋瑶低头，看著草稿纸最上方，江临写下的那行板正的字。

这道题在问什么？

她忽然惊恐地发现，自己高中三年，刷题等身，做过的卷子叠起来比很多人的身高还高。

可她似乎很少真的在下笔前停下来，认真地问自己这个问题。

她通常的路径依赖是，看题干关键词。

哦，恆成立，那就分离参数找极值。

哦，导数参数题，那就分类討论算根。

哦，双零点证明不等式，那就试试极值点偏移或者同构。

然后开始疯狂地在大脑图库里找对应的套路模板往上套。

这套机械化的方法当然有用。

它足够高效，足够让她在江城中学那种竞爭残酷的环境里保持住年级前三十的排名。

足够让她被所有老师评价为985高校的种子选手。

可是，清华北大那四个字，好像就卡在这种看不见摸不著的地方。

这已经不是努不努力的问题了。

而是她有时候太急著往前跑，急到把头埋在题海里，根本没有看清自己到底站在哪一条道上。

蒋瑶握著笔的手指微微发白，她抬起头，声音很轻地问：“所以江临，这种精妙的构造，从来都不是靠死记硬背背出来的，对吗？”

江临想了想，给出了一个非常客观的回答：“有些確实可以背，很多所谓的题型大招，本质上就是前人总结好的套路。为了应试速度，背套路没有错。”

蒋瑶疑惑地看著他，这似乎与他刚才教的方法矛盾了。

江临解释说：“但背出来的构造，容易忘，也容易用错。”

他拿起笔，用笔尖再次点了点草稿纸上那从目標倒推出来的一行行公式。

“只有像这样，从最终的目標一步步倒推出来的构造，它的逻辑根系是扎在题目本身的条件里的。这种长在你自己脑子里的东西，只要你不把数学的基础公理忘了，就永远不容易丟。”

蒋瑶看著那一行x_1x_2＜1。

然后又看向它等价的x_2＜1/x_1。

最后目光停留在它自然引申出的g(1/x_1)-g(x_1)。

她忽然懂了。

不仅仅是这道题懂了。

一道导数压轴题的解法，只是数学海洋里的一滴水。

是某种更让她感到震撼，更让她沉默的东西，她似乎触碰到了一点点边缘。

那是关於学习本质和思维体系重构的东西。

她把那张写满推导过程的草稿纸折好，和卷子一起收回文件袋里。

动作比来时慢了很多，似乎生怕打乱了刚刚建立起来的脆弱的思维体系。

“江临。”

“嗯？”

“你现在每次做题的时候，都是这样从最底层开始想的吗？”

她看著眼前这个曾经在自己眼里一度掉队的男生。

江临微微皱眉，思索了一下，说：“一直做到很难。”

蒋瑶有些意外。

江临接著说：“只能说儘量。至少在遇到真正好题的时候，不急著看答案，儘量多想想为什么。”

蒋瑶张了张嘴，她想问，那你怎么能在这么短的时间內，把思维练到现在这种近乎恐怖的深度的？

可这句话到了嘴边，最终还是没有问出口。

她是个聪明的女孩，知道自己问不到真正的答案。

有些东西，是需要岁月沉淀或者极高天赋的。

就像这道题的构造，如果只看江临现在的成绩，永远像是天上掉下来的奇蹟。

她能做的，只有回去慢慢消化刚才学到的方法。

“谢谢，今天真的麻烦你了。”

“不用客气。”