第37章 方法论（1/2）

蒋瑶跟著江临走进他的臥室。

江临的房间很小，堆满了东西，转身都觉得有些侷促。

书桌上的檯灯还亮著散发著暖黄色的光。

桌面上非常整洁，没有多余的书本卷子，中央只放著一张对摺过的a4纸，上面画著一些蒋瑶看不懂的几何拓扑图形。

而在那张纸的旁边，静静地躺著一本《高等数学（物理类）第1册》。

蒋瑶的目光在那本黄色的书皮上停顿了一下。

高等数学。

她当然知道这不是高中数学体系里的东西。

江城中学的竞赛班会涉猎一些微积分，但非竞赛生不学这个。

可是，这本书放在江临的桌上，她居然觉得一点也不突兀。

毕竟他刚刚在江城市一模里，以碾压的姿態考了全市第一。

对於一个已经站在高中知识体系顶端的人来说，寒假提前看点大学的教材，简直是再合理不过的事情了。

江临把自己的木椅往旁边拉了拉，腾出位置。

“坐。”

蒋瑶摇头说：“我站著就行。”

江临没有客套坚持，拉开抽屉，拿出一支黑色的中性笔和一沓崭新的草稿纸，推到桌子中央。

就在这时，张秀芬端著两杯刚泡好的热茶走了进来，热气腾腾的。

“你们慢慢说，我不打扰你们学习。”

说完，她便轻手轻脚地退出去，还贴心地把房门关严实了。

杯子放在桌面上，水汽裊裊上升。

江临伸出手，把靠近边缘的水杯往桌子內侧推了两寸，防止它被不小心碰倒。

蒋瑶终於把一直抱在怀里的文件袋解开，抽出那张数学卷子。

卷子的边角处，因为昨晚反覆的捏弄和摩擦，已经变得有些发皱。

“就是这道题，我昨晚做到的。搜了小猿和作业帮，也找到了步骤，但是有一步没看明白它的逻辑链条是怎么连上的。。”

卷子被完全展开，平铺在桌面上。

第二十一题，一道导数参数题。

这道题被蒋瑶用红色的中性笔重重地圈了一圈，像是在地图上標出了一个久攻不下的堡垒。

旁边密密麻麻写了两版解法，一版是蓝笔，字跡工整，像是照著搜题软体抄下来的。

另一版是铅笔，写到一半就中断了，被重重地画了一个巨大的问號。

问號下面还有几道橡皮擦过的痕跡。

擦得太用力，纸面微微起毛。

江临不关心这些，只是低头看题。

已知函数：

f(x)=xlnx+x^2+1-ax，x＞0。

（1）若对任意x＞0，都有f(x)＞=0，求实数a的取值范围。

（2）若函数f(x)有两个不同零点x1、x2，且0＜x1＜x2，证明：x1x2＜1。

蒋瑶用笔尖点了点第二问中间那行蓝色的字跡。

“第一问我做出来了。”

她似乎是怕江临误会自己是个连基础分离参数法都不会的菜鸟，又补了一句解释。

“就是把a分离出来，令g(x)=lnx+x+1/x，然后求最小值。”

江临看著她略显急切的眼神，平静地点了一下头，示意她继续。

得到確认后，蒋瑶深吸了一口气，继续往下说。

“第二问我也搜到了答案，小猿搜题有一版，是用极值点偏移做的，作业帮有一版，是用对称化构造做的，我们学校群里还有人转了一个用泰勒展开硬算的解析。后面的计算过程，不管是哪一种，我大概都能跟著它的公式推导一步步走下来。”

说到这里，她的眉头微微蹙起，眼神里透出深深的困惑和不甘。

“但我就是不知道，在这版標准的构造法解析里，它为什么在证明到一半的时候，突然要我去比较g(1/x)和g(x)的大小？”

这句话说完，蒋瑶自己也觉得喉咙有些发乾，甚至觉得有些彆扭。

因为答案明明就在她的手机相册里，隨时可以调出来看。步骤其实也不算特別长，也就六七行式子。

她如果愿意，完全可以把这六七行式子死记硬背下来，以后遇到类似的双零点问题，直接套用同构或者替换的模板。

江临听完她的疑惑，伸出手，拿过一张崭新的空白草稿纸，摆在两人中间。

没有二话不说就开始在纸上刷刷刷地写下一长串精妙的解析过程。

而是在白纸的最上方，写下了一句和数学公式毫无关係的话。

这道题在问什么？

看著纸上这句简直像是废话的疑问句，蒋瑶微微一怔。

这不像是理科生解题步骤的开头。这倒像是在看侦探小说时，老刑警面对一团乱麻的案发现场时，发出的灵魂拷问。

或者说，像某种审讯的开头。

倒像某种审讯的开头。

江临写完这句话，放下笔，抬起那双深邃得不似十八岁少年的眼眸，平和而专注地看著她：“第一问你会，那我就不讲了，没问题吧？”

蒋瑶当然没问题，她本来就不是来听废话的。

“嗯。”她用力地点了一下头，眼神殷切地看著他，等待著他拋出某个自己未曾听闻的高级公式或者是大招。

“那我们暂且不看它答案里的构造。”江临说，语气就像是在谈论今天的天气一样平淡，“你先告诉我，第二问给的已知条件，函数f(x)有两个不同零点x_1、x_2，f(x_1)=f(x_2)=0这句话，在数学上到底是什么意思”

蒋瑶低头看著卷子上的题干。

她觉得这个问题问得有些过於基础了，甚至有些莫名其妙。但她还是老老实实地回答。

“说明x_1、x_2是原函数f(x)与x$轴的两个交点的横坐標。”

“还有呢？”江临突然追问。

还有吗？

万万没想到还会有此一问的蒋瑶一时没有接上话。

不过她的大脑还是飞速转动，试图从高三这一年来老师让我们反覆背诵的知识点、考纲、题型归纳里，搜刮出任何与零点相关的隱藏线索。

是零点存在性定理？

是洛必达法则的使用前提？

还是导数变號的临界点？

如果是平时在教室里，那些学神或者讲台上的老师看到她卡壳，这个时候大概率会给个提示，或者乾脆顺著思路把答案引出来。

但江临没有。

他坐在那里，双手很自然地交握放在桌面上，姿態非常放鬆，像一棵扎根在戈壁上的老胡杨。

不催促，不抢答，甚至连眼神都没有游移，只是安静地等著她自己把那层窗户纸捅破。

这种突如其来的平静，反而给蒋瑶带来了一股无形的压迫感，让她意识到自己不能再用那些平时敷衍老师的套话和机械的记忆来糊弄过去。

时间一分一秒地过去，桌上的闹钟滴答滴答地走著。

足足过了两分钟，直到江临確信蒋瑶在这个节点上確实没有建立起底层的逻辑映射后，他才重新拿起笔，在草稿纸上，將原函数工工整整地写了下来。

f(x)=xlnx+x^2+1-ax。

然后在下面写下方程：f(x)=0。

“既然第一问你已经用了分离参数法，”江临用笔尖点了点那个方程，“那么现在，在这个等式里，把a重新表示出来。”

蒋瑶在代数变形这一步当然没问题，马上接过江临手里的笔，在旁边快速地写下：

xlnx+x^2+1-ax=0。

因为x＞0，所以：a=lnx+x+1/x。

写到这里，她停下了笔，抬头，用带著不確定的目光去看江临。

江临没有说话，只是静静地看著她写出的式子，鼓励她继续往下想。

蒋瑶被他看得不由得有些心虚起来，她看著自己写下的式子，脑子里突然闪过第一问里自己定义的那个函数，轻声试探著说。

“这个右边的式子，不就是第一问里的g(x)吗？所以条件说f(x)有两个零点x_1、x_2，实际上就是说，方程g(x)= a有两个不同的实数根，而且这两个根就是x_1和x_2？”

听到这句话，江临终於点了点头。

拿过笔在纸上写：g(x)=lnx+x+1/x。

紧接著，他在这个函数的下方，画了一个直角坐標系，在坐標系里画了一条简略的函数曲线。

用极其流畅的线条，从y轴右侧的上方落下来，然后在第一象限的中间位置压出一个谷底，隨后线条又平滑地往右上方抬起。

这就是一个典型的像对鉤一样的非对称u型曲线。

画完曲线，他用笔在曲线的下方画了一条水平的直线y = a。

这条水平线像是一把刀，拦腰切过了那条u型曲线。

笔尖在直线与曲线左边的交点处轻轻点了一下。

“这个点对应的横坐標，是左边较小的那个根，x_1。”

隨后，笔尖又平移到右边的交点处，点了一下。

“这个，是右边较大的那个根，x_2。”

江临放下笔，看著蒋瑶的眼睛，说出了一句直击灵魂的话：“所以，你看，这道题的第二问，表面上是在问原函数f(x)的两个零点，实际上，但实际上，它是在研究这条水平线y=a和曲线y=g(x)的两个交点的横坐標性质。”

蒋瑶愣了愣，呆呆地看著草稿纸上那条极其简单的曲线和那条水平线。

她昨晚看手机上的解析时，第一行明明还是f(x)，各种求导求得飞起。

第二行就突然跳到了某个复杂的构造式f(x)=g(x) - g(1/x)，中间仿佛出现了一道无法跨越的断层。

而现在，江临仅仅用了一个初中生都能看懂的交点图，就把原本藏在迷雾里的两个变量，清清楚楚地钉在了坐標轴上。

她能直观地看到x_1在谷底的左边，而x_2在谷底的右边。

江临没有给她太多回味的时间，他用笔尖点了点题目第二问最后要求证明的结论。

x_1x_2＜1。

“现在，我们来看目標，这句话，等价於什么？”江临问。

蒋瑶盯著这个不等式看了几秒钟。

在明確了x_1和x_2都是正数之后，不等式的变换变得极其简单。

“等价於……”

她写：x_2＜1/x_1。

江临点头。

“没错，这就是题目的目標，把乘积的形式，转化为单个变量的大小比较。现在，你再看回图像。”

江临用笔尖指著右边的那个交点：“现在，x_2在哪里？”

蒋瑶顺著笔尖看过去，思维逐渐变得清晰起来：“在曲线的右支上，右支上那个满足g(x)=a的点对应的横坐標。”

“那如果你想证明x_2＜1/x_1，而x_2又在这个单调递增的右支上，你应该怎么利用函数的单调性去比较？”

江临一步步收紧问题的核心。

蒋瑶低头去看。

右支上，g(x)显然是单调递增的。

如果能证明：g(1/x_1)＞a，而g(x_2)=a。

那就说明在右支上，1/x_1这个自变量对应的函数值比x_2对应的函数值更高。

既然右支是爬坡的，高度更高，意味著横坐標也更大。

那就必然有：x_2＜1/x_1。