第16章 省赛第二场（1/2）

第二场考试开始了。

拿到试卷的一瞬间，李帆就感觉到，难度確实提升了。

题目不再是那种一眼就能看出考点的常规题，而是绕了几个弯，需要更深的思考才能剥开外壳，看到內核。

他做得比上午要慢，也更谨慎。

时间一分一秒地流逝，当他攻克了前面的所有题目，来到最后一道压轴题时，墙上的时钟已经指向了考试的后半段。

【题目：设 p是一个素数，f(x)= a_n * x^n +...+ a_1 * x + a_0是一个整係数多项式。证明：若 f(x)≡ 0 (mod p)在模 p意义下有 k个不同的解，则多项式 f(x)的次数 n必然大於或等於 k，或者 f(x)的所有係数 a_i都是 p的倍数。】

李帆的瞳孔微微一缩。

【数论……还是和多项式结合的抽象代数题……】

这是他知识体系里，最薄弱的一环。

他死死地盯著题目，大脑的每一个褶皱都在疯狂检索。这个结论，他有印象，模糊地记得在“金钥匙”辅导班的某本讲义的角落里见过。它像一个定理，一个被他忽略了的、不起眼的定理。

【是什么……到底是什么……】

他尝试从最基础的定义出发，构造反证法，利用有限域 z_p的性质……草稿纸上很快写满了各种符號和推演。

思路在某个点上，似乎通了。

【对了！在有限域 z_p里，如果一个 n次多项式 f(x)有 k个根，且 n ＜ k，那么……】

然后呢？

然后是什么？

李帆的笔尖悬在了半空，大脑一片空白。

额头的汗珠变得黏腻，顺著太阳穴滑落，痒痒的，让他心烦意乱。

他越是焦急，那层水幕就越是浑浊。

“铃——”

考试结束的铃声，如同一声审判的钟鸣，无情地宣告了他这场挣扎的终结。

他最终还是没能想起那个关键的步骤——f(x)必须是 g(x)的倍式，而在次数 n ＜ k的前提下，这只有一种可能：f(x)在模 p意义下是零多项式，即所有係数都是 p的倍数。

一步之遥，咫尺天涯。

他放下了笔，脸上没什么表情，但心里却是一片冰凉。

……

与此同时，考场的另一端。

徐辰在看到这道题时，也愣了一下。

他同样不知道这个定理。陈老师的资料里，依然没有涉及到这部分內容。

所以他也没有像李帆那样，去记忆里搜索现成的定理。

他的思路，还是从更原始的路线进行推导。

【不懂理论，就回归定义。】

【有 k个解，意味著什么？】

【意味著，可以列 k个方程。】

一个大胆的念头在他脑海中闪过。

【我为什么要把它当成数论题来解？】

【这……这特喵的不就是一道线性代数题吗？！】

他瞬间感觉豁然开朗！

他的笔尖，在草稿纸上飞速移动，一行行工整的方程组，瞬间成型：