第27章 废土五年规划(1/2)
第十九日。
江临已经在《高等数学》前五页里打了整整七天转。
七天前,他用废土土豆田的產量,把数列极限那扇门撬开了一条缝。
第一年一平方米一斤多,第二年两斤,第三年两斤半,第七年第八年渐渐稳定下来。
那些產量不是一条笔直往上走的线,中间有酸雨,有风暴,有烂种,有烧苗,有莫名其妙的低產年,可只要把时间拉长,后面的数据確实在向某个稳定值靠拢。
那时候他第一次明白,所谓数列极限,不是看前面乱不乱,而是看后面能不能稳。
前面可以混乱,可以失败,可以波动,只要从某一个位置之后,后面的每一项都被关进你规定的误差范围里,它就是收敛。
这让江临很兴奋。
他甚至觉得自己已经摸到了大学数学的脾气。
可这种错觉,只维持到今天上午八点十七分。
屏幕里,老师把粉笔落在黑板上,写下另一行定义。
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【当x趋近於x?时,f(x)趋近於a。】
然后是那串熟悉又陌生的希腊字母。
e。
δ。
江临看著屏幕,沉默了足足三分钟。
不是因为它比数列极限长多少,也不是因为符號有多复杂。
恰恰相反,它看起来和前面那个定义太像了。
一样是任意给定一个e,一样是总能找到一个东西来应对,一样是最后让某个值和目標值之间的距离小於e。
可他越看越觉得不对。
数列极限里的n,是往后走。
第十项不行,就第一百项。
第一百项不行,就第一万项。
如果这个数列真的收敛,那么不管误差要求多小,只要你愿意一直往后翻,就总能找到一个起点,从那个起点之后,所有项都老老实实进入范围。
可函数极限不是这样。
函数极限里没有第一项,第二项,第三项。
x不是一个排著队往前走的学生,而是一个可以从左边靠近,也可以从右边靠近,甚至可以在目標点附近来回试探的东西。
它不是往后走。
它是往里收。
n像一道时间上的门槛,告诉你从哪一天以后,世界终於稳定下来。
δ却像一道空间上的围栏,告诉你只要输入被圈进这片足够小的范围,输出就逃不出你指定的误差。
江临盯著那行定义,忽然有种被按回门外的感觉。
他往后翻还以为自己懂了极限。
今天才发现,他懂的只是极限的一种影子。
数列极限是废土土豆田,是一年一年地往后看。
函数极限却更像他从石屋走向水坑。
人还没有真正站到水坑中心,可每往前一步,脚下的泥土就更湿一点,空气里的矿物酸味就更重一点,风里带著的潮气也更明显一点。
位置在靠近。
某种结果也在跟著靠近。
问题是,怎么证明这种靠近不是错觉?
怎么证明不是他鼻子灵敏了一点,不是某阵风刚好把酸味吹过来,而是只要他把自己控制在距离水坑中心足够近的范围內,那股酸味浓度就必然会接近某个稳定值?
江临按空格键把视频暂停。
石屋里一下子安静下来。
只有风从门缝里挤进来,吹得草稿纸边缘轻轻颤动。
他没有急著抄定义。
这一次,他知道,抄下来没用。
数列极限那一关已经教过他一遍,能背不叫懂,能把符號翻译成自己的话,能把它按进自己的生活里,才叫懂。
他从石桌前站起来,背对著那面空白的石墙,像给一个不存在的学生上课。
“来,江临同学,我们今天不讲那些狗屁术语。”
他说完,自己先咳了一声。
太久没说话,嗓子有点发乾,但他还是强迫自己大声说出来。
“上一次,我们讲的是n。”
“那是从第几项以后。”
“今天,我们讲δ。”
“这是离目標点多近。”
江临抬起手,在半空中画了一个看不见的圈。
“数列极限问的是:你往后走得够不够远。”
“函数极限问的是:你靠得够不够近。”
“这两个东西长得像,但不是一个问题。”
他说到这里,脑子里那团雾稍微散了一点。
於是他继续往下讲。
“假设有一台机器,输入x,输出y。现在你想证明,当x越来越靠近2的时候,y会越来越靠近5。”
“高中生会怎么干?”
“高中生会说,把1.9、1.99、1.999塞进去试试不就行了?算出来越来越接近5,这不就是极限吗?”
江临摇了摇头。
“不行。”
“因为试几个数,只能说明这几个数听话,不能说明所有足够靠近2的x都听话。”
“大学数学要证明的,不是几个例子看起来像。”
“它要证明的是:只要输入被你控制进某个足够小的范围,输出就一定被锁进目標误差里。”
“所以,e不是我定的。”
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