第20章 超难的压轴题（2/2）

“阿力八八全球数学竞赛的题目果然涵盖现代数学的各个分支。”

齐物顺手解答了下一道带有一点群论色彩的代数数论题。

终於来到了最后一道压轴题。

此时总用时：40分钟。

当看清压轴题的题干时，齐物神色一紧，坐直了身子。

这道题……

【压轴题（本题40分）】

【背景描述：考虑一个定义在紧致黎曼流形m上的高维非凸能量泛函e(x)=∫m(‖▽x‖2+v(x)) dμ。在標准的梯度流动力系统?x/?t=-▽e(x)演化下，已知系统中存在一个庞大的退化临界子流形s?m，在该子流形s的邻域內，泛函的hessian矩阵▽2e在其法向丛上出现大量的零特徵值，且伴隨及其微弱的非凸扰动。

【问题：系统在演化至s附近时，会发生严重的“临界滯留”现象，且逃逸时间期望趋近於无穷大。请问，是否能在原梯度流方程中引入一个纯几何的“拓扑补偿项Ω(x)”，在不改变系统全局极小值点的前提下，使得修正后的动力系统方程：

?x/?t=-▽e(x)+Ω(x)

能够以流形內蕴曲率为驱动，以指数速率逃逸该退化子流形s？若存在，请给出Ω(x)的严密解析构造，並证明其逃逸收敛性。若不存在，请说明理由。】

emmm……

这道题不对劲。

太难了！

以齐物的修为，竟然也读了两遍题目才读懂。

涉及的知识点太多了。

紧致黎曼流形、sobolev空间、能量泛函分析、弱导数、梯度流、morse理论破缺、退化临界子流形、hessian算子、法丛、临界滯留、拓扑项的几何意义、lyapunov稳定性、指数收敛速率估计、泛函能量估计……

这完全不是预赛应该出现的题目！

据齐物所知，阿力八八全球数学竞赛的预赛，一般只考本科基础的线代、数论、组合、初等概率等，绝对不会涉及流形、梯度流和退化临界这种知识点。

而这道题，无论是深度和广度，都应该是属於决赛中，几何拓扑和分析与方程的压轴题。

几乎相当於顶级985数学系博士的复试加试题了。

阿力是疯了吗？

拿这种题来当预赛压轴题？

不过刚刚学完黎曼几何的齐物觉得自己可以挑战一下。

他最喜欢做难题了。

他再次精读了一遍题目。

这一次他发现了一丝不寻常的地方。

“乍一看，这是一道硬核的微分几何与偏微分方程（pde）交叉的纯数学题，但是描述的是物理图景？”

齐物忖思，“属於计算机科学，貌似是超大规模人工神经网络在进行梯度训练时，陷入的多维鞍点的死锁现象？”

齐物很快察觉到违和感。

“出题人为何要特意强调【极高维】？”

齐物在草稿纸上写下了一个m，並画了一个圈，“在纯粹的几何拓扑里，维度的具体数值往往並不决定方程的定性行为，除非——”

齐物心思一转：“除非这个维度本身，具有现实的物理意义。”

阿力八八不会无缘无故出这么一道超纲的题。

他再次看向题干，开始抽丝剥茧。

【如果把黎曼流形m上的坐標点x视为一个参数矩阵w，那么，“极高维”的流形空间，其实是一个包含了千亿乃至万亿个权重的网络参数空间？】

【能量泛函e(x)，非凸性质……在参数空间里，非凸的能量评价標准是什么？】

【loss（损失）函数！】

【动力系统?x/?t，不就是连续时间下的梯度下降算法？】

齐物笔尖猛地停住，这题目，影射的是ai大语言模型在训练过程中，最难解决的梯度消失和loss停滯现象！

他有些明白了——

阿力八八是在ai大模型的开发中遇到了问题，然后把问题转换成了数学难题，穿上代数几何以及微分拓扑的马甲，脱敏之后放在预赛压轴？

希望全球的参赛者能给予他们破局的灵感！