第13章 好像也没有特別难？（1/2）

屋內安静了下来，只有老妈魏淑华剁肉馅的声音。

齐物打开试卷，看向第一道题。

【1.已知椭圆 c: x2/a2+ y2/b2= 1(a>b>0)的左、右焦点分別为 f1，f2，点p在椭圆c上，且∠f?pf?=60°。若△f?pf?的面积为√3b2，则椭圆c的离心率e为？】

a. 1/2

b.√2/2

c.√3/2

d.√3/3

就这？

齐物愣了一下，也没有很难哦。

对於普通高三学生来说，这道题可能要设点p的坐標，联立椭圆方程，或者利用余弦定理和焦点三角形公式推导离心率e。

但是对於齐物来说——

“根据焦点三角形面积的万能公式s= b2tan(θ/2)，题目已知∠f?pf?=60°，那么面积s=b2 tan30°=√3/3 b2。”

“但题目给的面积是√3b2……等等，出题人在这里设了个陷阱？”

“有点意思。”

齐物已然看穿题目的本质：“不对，根本不需要算。

面积s的最大值是当点p在短轴顶点时取得，此时 smax=bc。要想让∠f?pf?=60°成立，且面积条件满足，直接利用余弦定理4c2=|pf?|2+|pf?|2-2|pf?||pf?|cos 60°，结合|pf?|+|pf?|=2a，知：c/a=√3/2。

选c。”

用时一分钟。

“题目是比兰苍二中的摸底考试卷质量高。”

齐物一边做一边评价，“不愧是省城，但是……好像也没有很难。”

齐物继续翻看，单选、多选没啥难度，来到了最后一道填空题：

【14.已知定义在 r上的函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x)，且当x∈[-1，1]时，f(x)+ f(x)> 0。若a=f(1)，b = ef(2)，c= e2f(3)，则 a，b，c的大小关係是？】

“经典的构造辅助函数题型。”

“看到 f(x)+f(x)> 0，必然构造 g(x)=e^x f(x)，求导得到g(x)=e^x [f(x)+f(x)]> 0，所以g(x)在[-1，1]上单调递增。”

“由f(x+2)=-f(x)可知，函数的周期t=4，且关於点(1，0)中心对称。”

“代入自变量，將b和c通过周期性和奇偶性转化到[-1，1]区间內进行比较……

f(2)=-f(0)，f(3)=-f(1)，直接得出c<b

<a。”

“不是很难啊。”

齐物没有被挑战的感觉。

齐鹏叔走的时候说，这套摸底考试卷，难度堪比高考真题——

难道我现在的水平已经三层楼那么高了吗？

三下五除二，齐物就推土机一样来到了最后一道压轴题。

【20.已知拋物线 e: y2=2px(p>0)的焦点为f，过点f且斜率不为零的直线l交拋物线e於a，b两点，线段ab的垂直平分线交x轴於点n。

（1）若△aob的外心在拋物线的准线上，求拋物线e的方程；

（2）在（1）的条件下，设点 m(m，0)，直线 ma与 mb分別交拋物线於c，d两点。证明：直线 cd过定点，並求出该定点坐標。】

“省城的卷子还是有些水平的，第二问考的是经典的极点极线模型变种。”

齐物转了转手中的笔。

传统的做法，是设直线方程，联立拋物线，得出韦达定理公式，然后进行繁琐的斜率相乘化简。

很容易在繁芜的代数运算中算错正负號。

齐物可不会用这么愚笨的方法。

“引入齐次坐標，在射影几何的视角下，拋物线y2= 2px可表示为二次型矩阵。”

“设点m为极点，那么它的极线方程就是直线cd。根据配极原则，过拋物线上两点a，b的直线l过焦点 f(p/2}， 0)，则交点弦cd必过与之对应的极点。”

“直接写出极点-极线的映射变换矩阵方程，代入点 m(m，0)的坐標。”

只用了短短三行公式，齐物就完成了普通学生需要写满一整页的证明过程，並在最后乾脆利落地写下：

“定点坐標为(-pm/2，0)。

q.e.d.”