第8章 四种解法（2/2）

“……”

郭达也一时语塞——

那边，齐物已经开始解题。

“第一种，很明显，最基础的均值不等式配凑法。

已知abc=1，我们可以对原式的每一项进行巧妙的常数配凑。

即：a3/(1+b)（1+c）+（1+b）/8+（1+c）/8≥33√a3/(1+b)（1+c）·（1+b）/8·（1+c）/8

简化右侧，恰好等於3√a3/64=3a/4

同理，对另外两项进行配凑，列出三个不等式，相加，可以得到——

原式+（2+b+c）/8+（2+c+a）/8+(2+a+b)/8≥3/4（a+b+c），

即原式≥1/2（a+b+c）-3/4。

注意到，均值不等式a+b+c≥33√abc=3。

即原式≥1/2x3-3/4=3/4。

q·e·d。”

大礼堂內空气一滯，90%的人都没跟上齐物的思维。

他们只知道，只用了一分多钟，齐物就给出了第一种证法。

看得懂的人都觉得，常数1/8的选取堪称神来之笔，恰好消去了分母，完美放缩。

“第二种，柯西不等式的分式形式。”

齐物自信地宛如给几百人讲课的老师，“很明显，可以將原式各项的分子分母同乘以相应的变量进行变形：

即原式=a^4/a(1+b)(1+c)+b^4/b(1+c)(1+a)+c^4/c(1+a)(1+b)，

应用柯西不等式，得到

原式≥（a2+b2+c2）2/a(1+b)(1+c)+b(1+c)(1+a)+c(1+a)(1+b)

答案已经很明显了吧。”

齐物停顿，看向下面乌压压的人群。

“明显？什么明显？哪里明显？”

人群里闪出素质三连问。

齐物看著鸦雀无声的观眾，道：“利用基本的不等式关係，展开分母，放缩分母和分子，结合abc=1，化简一下就能得出大於等於3/4的结论啊。”

“怎么感觉柯西不等式在他那里就像是1+1=2啊。”

“大巧不工。”

这是郭达的评价。

“第三种，赫尔德不等式。”

齐物写下一个对在场很多人都很陌生的名词。

郭达神色严肃，他发现齐物已经超出他的想像了。

“利用赫尔德不等式，將原式构造为三组求和式相乘的形式：

（∑a3/(1+b)(1+c))(∑(1+b)）)(∑(1+c）)≥(∑a)3

已知a+b+c≥3……右边等於27……化简之后，很明显，可以证明原式≥3/4。”

在场的师生们已经听得不知天地为何物。

“三套纯代数的解法，一套比一套高级……”

“柯西不等式我还见过，但是这个赫尔德不等式我是真没听过。”

“二中这逼怎么这么猛？”

“如此天才屈居二中？”

郭达讚嘆地感慨：“天才……简直是数学天才。”

“第四种。”

齐物仍旧在持续输出，“郭老师，您刚才说这道题没有图形可依託，但是依我看来，所有的代数方程，都有对应的几何图形。”

齐物在空白处，画了一个十字直角坐標系。

“利用切线放缩法，將原式看成三个相同的函数结构组成的求和形式。

已知abc=1，

构造单变量的一元函数f(x)=x3/(1+x)2

很明显，我们可以在平面直角坐標系中画出它的曲线。

寻找函数在x=1处的切线。

求导，得到切线方程y=1x/2-1/4

问题进而转化成证明f(x)≥1x/2-1/4，即是证明函数曲线始终位於切线上方。

將a，b，c分別代入切线方程並求和，原式≥1(a+b+c)/2-3/4≥3/2-3/4=3/4。

q·e·d。”

齐物放下电容笔，看著台下黑压压的人群。

四种解法，如同庖丁解牛。

乾净利落地摆在所有人面前。

总共用时，不到15分钟。

鸦雀无声。

县教育局的领导、各大高中的师生全部欲言又止。

不知道该怎么表达心中的震惊。

郭达惊呆了，齐物的数学水平，琅琊一中的清北预备生们，似乎也比不上！

他看著大屏幕上的公式，问出所有人想问的问题：“齐物同学，你是怎么……在这么短的时间內想出这么多的解法的？”

“直觉吧。”

齐物平静道，“实际上，就在三秒前，我又想到了第五种解法。”