第五章 大一新生？你说是研究生我都嫌年轻！（1/2）

“开始证明。”

陆丰把图纸內容默记在心里，合上系统面板，从书包里掏出草稿纸开始推。

第一部分的数学基础还算扎实。

riemann-liouville分数阶导数的定义他在图纸上已经看过完整形式，核心是把整数阶导数的阶乘推广到gamma函数，然后用一个积分算子来定义任意阶的微分运算。

这一步他能跟上，毕竟下午刚把积分部分系统地过了一遍，底子还热乎著。

笔尖在草稿纸上飞快地划过，写满了第一张。

到caputo导数的时候，节奏慢了下来。

caputo的定义和r-l的区別在於微分和积分的顺序对调，这导致两者在处理初始条件时完全不同。

图纸上给的推导跳了好几步，中间省略的变换过程需要他自己补全。

陆丰盯著那个从caputo导数推到laplace变换的关键步骤，笔尖悬在纸面上方，迟迟没有落下。

这一步需要用到gamma函数的递推关係和beta函数的积分表示，而这两个东西他下午学的高数课本里根本没涉及。

“只能硬啃。”

推了半页纸，绕了个弯子，终於把Γ(α+1)=αΓ(α)这个关係式自己证了出来。

第二张草稿纸写满。

进入第二部分物理建模的时候，难度陡然上了一个台阶。

图纸上用分数阶微分方程替代了经典的弹簧-阻尼元件，构建出一个广义的scott-blair模型。

这个模型的核心思想是：真实材料的力学响应既不是纯弹性的（应力正比於应变），也不是纯黏性的（应力正比於应变率），而是介於两者之间的某种“分数阶”行为。

这个概念陆丰能理解。

前世在工厂处理过太多橡胶密封件和高分子复合材料的问题，这些材料的应力鬆弛曲线用经典模型怎么擬合都对不上，总会偏。

当时他只知道“经典模型不够用”，但不知道该怎么修正。

现在图纸告诉他用分数阶导数替代整数阶导数，一个参数α就能把弹性和黏性之间的过渡行为连续地描述出来。

“妙是真妙，但推导过程也是真难。”

到第三部分核心推导的时候，陆丰彻底卡住了。

图纸上用mittag-leffler函数作为分数阶微分方程的基本解，这个函数他压根没见过。

它的定义是一个无穷级数，形式上像是指数函数的推广，但收敛性质完全不同

图纸上直接给出了结论，中间的收敛性证明和laplace逆变换的过程全部跳过。

陆丰试著自己推，在草稿纸上写了大半页，发现怎么都走不通。

级数的逐项积分需要一致收敛的条件，而mittag-leffler函数在某些参数取值下的收敛性並不是显然的。

他换了个思路，试著从laplace变换的角度反过来推，先假设解的形式，再代入原方程验证。

又写了半页，走到一个需要用到留数定理的地方，卡死了。

复变函数的內容他还没学。

第三张、第四张草稿纸陆续写满，桌面上铺开了一片。

有些地方画了圈標註“待验证”，有些地方直接划了叉表示此路不通。

陆丰放下笔，揉了揉太阳穴。

“一个小时了，核心推导部分只推进了不到三分之一。”

剩下的部分涉及的数学工具超出了他目前的知识储备，强推只会越走越偏。

但他並不沮丧。

”罗马又不是一天建成的“

剩下的部分不急，等他把复变函数和数学分析的基础补上之后再回来啃，效率会高得多。

窗外的天色已经暗下来了，图书馆的日光灯不知什么时候亮了起来。

陆丰看了眼手机，19:47。

“该去吃晚饭了。”

他把草稿纸叠好，夹进课本里。

然后目光落在桌上那几本高数书上。

同济版的《高等数学》上下册，加上那本习题集，下午他只过完了上册的內容，下册的多元函数微积分、曲线曲面积分、无穷级数这些还没碰。

而且上册里很多拓展题他只看了题目没来得及动笔，那些题出得相当有水平，比正文例题难了不止一个档次。

带回宿舍继续看。

陆丰把三本书摞在一起，抱著走向门口的管理台。

管理台后面坐著的还是下午那个戴眼镜的女生，正对著电脑屏幕录入什么数据。

听到脚步声，她抬起头。

“借书？”

“对，这三本。”陆丰把书放在檯面上。