第65章 我的大脑已经宕机了（1/2）

其他人或许没法跟上陈末的节奏，又因为前面的过程已经被擦掉，到后面更是完全看不懂陈末在写什么。

但郑明阳能够看懂，已经研究这个证明好几天，本身也是这个领域专家的他，当然能够看懂陈末的证明。

但正因为能够看懂，当看到陈末一步步推导，即將毕竟那个最终答案时，郑明阳心中也开始翻江倒海。

他本以为陈末只是运气好，碰巧写出了一个形式。

没想到这个高一学生当场就给出了一个完整的、严密的证明，而且证明思路极其巧妙，用模2q的高斯和来提升指数，再利用奇偶拆分和对偶性，將未知的和与已知的高斯和联繫起来。

他做了二十年解析数论，高斯和的理论烂熟於心，但从未想过用这种升模技巧来估计线性指数和。

这个技巧虽然简单，但需要极强的数论直觉和对特徵结构的深刻理解。

陈末写得飞快，嘴里念念有词。

副校长赵振中悄悄凑到周知耳边：“老周，他说的特徵是什么？是性格特徵吗？”

周知嘴角抽搐了一下：“赵校，是dirichlet特徵……一种数论函数。”

“哦。”

赵振中点点头，然后又问，“那模2q是什么意思？”

周知沉默了两秒，选择说实话：“老赵，要不您先別问了，等回去我再给您解释。”

赵振中识趣地闭上了嘴。

另一边，姜帆正在手机上疯狂搜索高斯和。

然而，搜索结果让他更加迷茫，维基百科上的公式比他想像中的还复杂。

胡鑫倒是相对镇定，因为他早就放弃了理解。

他在想的是，这个学生还是我班上的那个陈末吗？

他想到了陈末每节课下课问他的问题，再看看眼前的白板，“所以，我何德何能，能给这种妖孽解答问题？”

“所以t=ψ(2)s+ψ(2)s{共軛}。”

“这是一个实数，因为它是共軛对称的。”

“而|t|=√2q是已知的，因为ψ是二次特徵，高斯和的模长是根號下模数。”

“设ψ(2)=±1，那么t=±(s+s{共軛})或者t=±(s?s{共軛})，取决於具体符號。”

“但不管哪种情况，都有isi=iti/2?某个因子……”

陈末快速计算，最后在白板上写下，

isi=√q！

办公室里安静了三秒钟。

然后，郑明阳猛地站了起来。

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“这……”他的声音有些颤抖。

虽然在看到陈末进入状態后，他就有所预料，但当陈末真的给出了完整的证明后，他还是有些不敢相信自己的眼睛。

怔怔的盯著白板看了好久，郑明阳才回过头来看向陈末，“你是怎么想到用2q的？”

陈末也没想到最后自己竟然真的证明了出来，就像当时他给白芷讲题一样，一开始只是有个思路，但隨著一步步推导，结论就像是水到渠成一般出来了。

数学，好像也没那么难嘛！

“因为e^{πik/q}=e^{2πik/(2q)}，所以我想把问题转化成模2q的高斯和，然后我发现，模2q的二次特徵可以分解……”

“不，我不是问这个。”郑明阳打断了他，“我是问，你怎么想到奇偶拆分之后，奇数项和偶数项会互为共軛？这个对称性，我做了二十年数论，从来没有从这个角度想过。”

陈末想了想，说：“其实就是……把求和区间[1，2q]映射到自身，用k?2q?k这个变换，这个变换把奇数变成奇数，偶数变成偶数，而且把指数变成共軛。

然后我注意到，ψ(2q?k)=ψ(?k)=ψ(?1)ψ(k)。只要ψ(?1)=1，就能让奇数项和偶数项完美配对。”