第40章 竞赛集训第一课，再次降维打击（1/2）
周六上午,京市一中数学竞赛集训教室。
阎正站在讲台上,目光扫过下方十几个学生。
“今天是集训第一课。”
他停顿半晌，语气凉了几度。
“我不管你们是怎么进来的，在这里，只有实力说话。”
显然，某些人把关係户塞进集训队的事儿，让他很不爽。
教室里安静下来。
陆安安坐在第二排,手指轻轻摩挲著笔桿。
【终於进来了。】
【接下来,就等陆昭昭出丑。】
她侧头看向最后一排。
陆昭昭坐在角落,面前摊开一本《数论导引》,目光平静地扫过书页。
阎正转身在黑板上写下一道题:
“设p为大於3的质数,证明:p2-1能被24整除。”
教室里响起笔尖划过纸张的声音。
陆安安盯著题目,脑海中快速搜索记忆。
【这道题我见过。】
【上一世省赛真题,用费马小定理和同余性质。】
她深吸一口气,开始在草稿纸上推导。
十分钟后。
阎正放下粉笔。
“谁做出来了?”
陆安安举起手。
阎正眉毛微挑。
“陆安安,你上来讲。”
陆安安站起身，走到讲台前，拿起粉笔。
“因为p是大於3的质数，所以p不能被2和3整除。”
她在黑板上写下第一行。
“p是奇数，考察p模8的情况：p≡1,3,5,7(mod 8)。”
她继续推导。
“计算可得p2≡1(mod 8)。同理p2≡1(mod 3)。”
“由於gcd(8,3)=1，根据中国剩余定理，p2≡1(mod 24)。”
“因此p2-1能被24整除。”
阎正点点头。
“思路正確，但表述可以更严谨。”
陆安安脸上浮现出笑容,转身走回座位。
【陆昭昭还在看书。】
【她肯定做不出来。】
阎正看向最后一排。
“昭昭,你做出来了吗?”
陆昭昭合上书,抬起头。
“做出来了。”
阎正点点头。
“你也上来讲讲。”
陆昭昭站起身,走到讲台前。
"我想到了三种思路。"
教室里安静下来。
陆安安手指一紧。
【三种？】
陆昭昭拿起粉笔,在黑板上写下第一行。
“第一种,因式分解。p2-1=(p-1)(p+1)。”
她的笔尖快速移动。
“p是大於3的质数,则p-1和p+1是两个连续偶数,其中必有一个被4整除,另一个被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。”
她顿了顿。
“又因为p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),则p-1或p+1能被3整除。”
“综上,p2-1能被24整除。”
阎正点点头。“继续。”
陆昭昭擦掉第一种方法,写下第二行。
“第二种,同余类討论。p＞3,则p≡1或5(mod 6)。”
她的推导速度更快了。
“当p≡1(mod 6)时,p2≡1(mod 24)。”
“当p≡5(mod 6)时,p2≡25≡1(mod 24)。”
“所以p2-1≡0(mod 24)。”
教室里响起倒吸冷气的声音。
陆安安的手指攥的生疼。
【她怎么可能想的这么快?】
阎正看向陆昭昭。
“第三种呢?”
陆昭昭放下粉笔,拿起另一支不同顏色的粉笔。
“第三种,直接验证。”
她转身面对黑板。
“质数p＞3,则p=6k±1的形式。”
“当p=6k+1时,p2-1=(6k+1)2-1=36k2+12k=12k(3k+1)。”
“3k与3k+1中必有一个为偶数,所以12k(3k+1)能被24整除。”
“当p=6k-1时,同理可证。”
教室里鸦雀无声。
陆昭昭转身走回座位。
陆安安的脸色惨白。
【不可能。】
【她怎么能想到这么多方法?】
阎正看著黑板上三种解法,眼中闪过讚赏。
“三种方法各有特点。第一种直观,第二种系统,第三种严密。”
他转身在黑板上写下第二道题。
“下一题:证明存在无穷多个形如4k+1的质数。”
教室里安静下来。
陆安安盯著题目,脑海中一片空白。
【这道题……】
【我没见过。】
她侧头看向陆昭昭。
陆昭昭已经在草稿纸上写下第一行。
本章未完，点击下一页继续阅读。