第25章 CMO省队集训（1/2）

隨后，张建国给每个人发了一厚沓全新的学习资料，然后便宣布：

“从现在开始，大家在教室內自习。这套资料，是我们为这次集训专门编写的，涵盖了cmo的所有核心考点和经典题型。有问题，可以隨时到讲台上来，和我一对一交流。”

教室里立刻响起了翻动纸张的声音。

徐辰也拿起了那份资料。

他粗略地扫了一眼。

第一部分，数论。从同余理论到二次剩余，再到高斯整数。

第二部分，组合。从鸽巢原理到容斥原理，再到生成函数和组合恆等式。

这些题目，对於其他队员来说，是需要反覆训练，或者查漏补缺的材料。

但对徐辰而言……

【索然无味。】

之前省赛的时候確实还欠缺这些技巧知识，但是现在的他已经补习过竞赛知识点了，知识点已经覆盖全了。

而且，现在的他，数学天赋已经到了【lv.1】，对数学的理解层次已经再次迎来质变。

所以现在再做这些其实已经是浪费时间了。

他收回思路，拿出了手机，点开了那个熟悉的公眾號——“许康樺竞赛优学”。

相比於做这些已经完全掌握的题目，他发现，还是去那个最適合自己的悬赏任务处看看，那边更有意思。

他打开了之前收藏的一道试题。

这是一道被標註为“imo”级別难度的组合几何题，悬赏金额为300元，发布已经快一周了，下面虽然有几十条討论，但还没有人能给出让发布者满意的完整解法。

【题目：在一个平面上，给定n≥3个点，其中任意三点不共线。求证：存在一个由其中3个点构成的三角形，其外接圆的內部，不包含任何其他给定点。】

这是一个经典的“空外接圆三角形”存在性问题。

下面的评论区，已经有人给出了常规的解法思路：

“考虑所有点对构成的线段，取其中最短的一条，设为ab。再在剩下的n-2个点中，找到使∠acb最大的点c，则△abc即为所求。”

这个思路是正確的，也是竞赛教辅书上的標准答案。

但悬赏的要求，是给出“其他思路的解法”。

徐辰的目光在屏幕上停留了片刻，开始思考起来。

【常规解法，利用的是“最小”和“最大”的极值原理。那么，是否可以从其他角度入手？】

【比如，凸包？】

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【考虑这n个点的凸包。如果能证明凸包的某条边和另一个点构成的三角形满足条件……】

【或者，反证法？假设所有三角形的外接圆內部都包含其他点，能否导出矛盾？】

一个个念头在他脑海中闪过，又被他一一否决。

他很清楚，要从其他视角解决这个问题，本质上考验的是对数学各个分支之间內在联繫的深刻洞察力。

【这道题，表面上是一个几何问题，但其內核，却是一个关於“存在性”的组合问题。常规解法是从几何角度出发，用极值来解决。那么，是否可以反过来，用纯组合的，或者代数的，甚至拓扑的观点来审视它？】

这正是这类问题的难点所在。

对於绝大多数人而言，他们的知识体系是模块化的。几何就是几何，代数就是代数，组合就是组合。他们擅长在各自的模块內，运用熟练的技巧解决问题。

但要让他们进行“跨界”思考，比如用数论的方法去解决一个几何问题，或者用拓扑学的思想去构造一个组合证明，这就超出了他们的能力范围。

这需要一种超越模块化知识的、对数学整体架构的宏观理解。需要能看到不同分支底层逻辑的共通之处，並搭建起沟通它们的桥樑。

这，正是徐辰在数学等级提升到【lv.1】后，所获得的最宝贵的能力。

【比如，凸包？考虑这n个点的凸包。如果能证明凸包的某条边和另一个点构成的三角形满足条件……这个思路不错，但似乎还是离不开极值。】

【或者，反证法？假设所有三角形的外接圆內部都包含其他点，能否利用这个假设，构造出一个无限递降的点序列或者某种几何结构，从而导出矛盾？这有点像费马的无穷递降法，是数论的思想。】

一个个念头在他脑海中闪过，又被他一一审视、推演……

那道悬赏的组合几何题，比徐辰想像中要更棘手一些。

他尝试了几种不同的思路，但都发现，想要绕开经典的“极值原理”去给出一个同样简洁优美的证明，似乎总会陷入更复杂的分类討论，或者需要引入更高级的工具。

徐辰很快意识到了问题所在。

“看来，我现有的知识体系，还是存在一些『盲区』。”

他虽然已经掌握了高中竞赛的所有內容，但面对这种imo级別的难题，尤其是要求创新解法时，仅仅依靠现有的工具箱，还是有些捉襟见肘。